冷知识：拓扑学简介(2

　　1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严 格数学定义。之后的就职要求候选人准备三个课题，委员会从中挑选一个作为正式题目。

　　当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间 的相互关系问题，从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力，再加上长期的贫穷，一度让黎曼崩溃。但不久他就重新振作起来，用 7 个星期时间准备了关于几何学基本假设的。

　　黎曼在中提出了 弯曲空间 的概念，并给出怎样研究这些空间的。 弯曲空间 正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上，除了可以运用代数拓扑的工具，还可以运用微积分工具，这就形成了 微分拓扑学。

　　他给了这些多度延展的量(几何对象)一个名称，德文写作 mannigltigkeit, 英文翻译为 manifold，英文字面意思可以理解为 多层，中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为 流形，取自文天祥《正气歌》，天地有正气，杂然赋流形，而其原始出处为《易经》，大哉乾元，资始，乃统天。云行雨施，品物流形。 这个翻译比英文翻译更加符合黎曼的原意，即多样化的形体。

　　黎曼定义的 n 维流形 大概是这个样子的:以其中一个点为基准，则周围每个点的都可以用 n 个实数来确定。后人将这种性质总结为:流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。

　　如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来，成为 整体微积分，则称此流形为 微分流形。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道，二维球面上没有整体适用的坐标。

　　经度和纬度是一组很好的坐标，但是在南北两极，经度无从定义。尽管如此，球面的每个局部都可以画在平面上，这就是地图。把各个区域的地图收集在一起，重叠的部分用比例尺协调一下，就得到整个球面。这样，坐标(或地图) 只存在于每个局部，而整个球面其实是地图之间的重叠关系。

　　球面是二维流形，因为球面的局部同平面(二维欧氏空间)的局部具有相同的延展性质。球面的整体结构显然跟平面不同。沿着球面的某个方向往前走，比如，从赤道某点出发往东走，最终会回到出发点。而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。研究流形的整体结构，以及整体结构与局部结构之间的关系，就是 拓扑学 的核心课题。

　　微分流形上可以使用微积分的工具，再辅之以前面介绍过的代数工具(同调群，同伦群)，就形成了威力强大的 微分拓扑学。这门学问的发展使我们对 5 维以上的单连通微分流形(回忆先前介绍的 单连通 概念，即每条曲线可于流形内滑缩为一点)有了比较彻底的认识。

　　到了80年代，数学家对 4 维单连通 拓扑流形 也有了彻底的认识，然而 4 维 微分流形 却是无比复杂的对象。比如，直观上最简单的四维流形，四维欧氏空间，也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间，有无穷多个微分结构。

　　通俗一点说，这个流形上有无穷多种 整体微积分 可做，而我们通常做的四元微积分只是其中一种。这是 4 维的特殊性，因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。也许 4 就是传说中的之数，我们的就是用 4 个参数来描述的(3个参数表示空间，1 个参数表示时间)，我们的时空是一个四维流形。

　　如果我们忘掉时间，只考察我们生活的空间。它的形态会是怎样?这是黎曼在结尾提出的问题。这个问题到现在还没有答案。这个答案需要物理学家、天文学家、学家去寻找。空间会不会是一个三维球面?如果是三维球面，那我们沿着一个方向往前飞行，最终总会回到起点。

　　黎曼所描述的几何经常被形容为 爬虫的几何，因为黎曼假设观察者处于流形内部。对人类来说，二维流形常直观的对象，它们通常被称为曲面。而三维流形却难以想象，正因为我们处于空间这个三维流形内部。

　　古希腊数学家就已经知道，球面上连接两点的所有曲线段中存在最短者，即以球心为圆心的弧(称为大圆弧)。爬虫通过测量也能发现这个最短线段，但在爬虫的世界里，球心并不存在。

　　我们假设爬虫的光学定律也要求光线沿短程线，所以二维球面上的光线，即短程线，在人类看来是一些大圆弧。一个处于球面上 P点处的光源发出的所有光线沿着大圆，它们将汇聚于 P 的对极点 P (人类倾向于定义对极点 P 为三维空间中连接 P 和球心的直线与球面的另一交点;而爬虫将定义对极点为离 P 最远的那个点)。

　　爬虫们实际上看到两个发光点 P 和 P，一个是真实的，另一个是像(按高中物理的说法，P 处的发光点是 P 处光源的实像)。这是因为光线在 P 汇聚之后再次散开，眼睛将告诉大脑这些光线是从 P 发出来的。

　　有延展的物体，比如一个四边形爬虫，不妨设它的眼睛长在前边。那么它往前看将看见自己的后边，往左看将看见自己的右边。它看到了自己在远方成的像。有多远?圆周率乘以这个二维世界的半径。

　　有趣的是，对于正好处在此爬虫对极点的观察者而言，爬虫无处不在，往任何一个方向看都能看到爬虫，非常恐怖的景象。这个世界的另一个显著特点是，它有限。

　　如果爬虫认定一个方向往前爬，它可以永远爬下去，不会碰到世界的边缘，此即;而如果爬虫会丈量面积，那么它发现这个世界的总面积是有限的，如果它一直往前爬，它会一次又一次地回到起点，此即有限。

　　有限的二维流形当然不必是球面。比如，爬虫的世界完全可以是我们人类所谓轮胎面，数学家叫它环面。在这样一个世界里，房地产开发商将是一个的职业，因为有时候画了一个圈来圈地，结果什么都没有圈进去。

　　这个二维流形更自然的模型是把一个正方形的对边等同起来。这是一个奇怪的世界，光线在正方形内沿直线，当你疑惑光线到达正方形的上边缘以后将往何处去时，你忘记了这个世界是有限的，上边缘和下边缘是同一条线，所以光线又从下边缘射上来。

　　与球面世界不同的是，爬虫会看到无穷多个自己:朝任何一个斜率为有理数的方向看，就会从某个角度看到自己。怎么理解这个现象?可以用这个正方形的无穷多个复制品地板砖式地铺满整个平面，每一个这样的正方形都被解释为同一个环面世界。

　　光线在环面世界里的就可以从光线在平面上的读出来:在平面上画一条无限延伸的直线，这条直线在某个正方形 S 中划出一条线段 C，然后进入到另一个正方形 S1，划出另一条线 中的将它复制到 S 中，同线段 C 一起构成环面世界里光线的一段轨迹。

　　这种地板砖式构造在拓扑学中称为泛复叠，其目的是用一个具有高度对称性的简单拓扑空间来研究一个比较复杂的拓扑空间。对环面而言，平面就是这个简单拓扑空间，而其对称性就是左右平移和上下平移。我们看到，在这个泛复叠里，一个爬虫被复制成了无穷多个，处于每个正方形的相同。

　　连接任意两个复制品，得到一条斜率为有理数的线段，根据我们刚才关于光线的分析，平面上的这条线段代表环面上一条起于爬虫而止于爬虫的光线。所以，沿着这个方向爬虫将看到自己的某个侧面。数学家设计了一些环面上的小游戏，比如迷宫、台球、象棋等等。

　　其它的二维流形称为多环面。(这里我们只谈论有限的，而且可定向的二维流形，像莫比乌斯带那种单侧的流形不在我们考虑之列。)这些流形也有最自然的模型，由双曲平面上的多边形粘合而成。

　　这样的世界里，光线得更奇怪一些，它们发散得特别厉害。光线的发散性质不是拓扑性质，它依赖于我们所选的模型，即数学家所谓黎曼度量。发散性质反映了黎曼度量的曲率，弯曲程度。

　　如果光线从某一点向周围线性发散，即光强随距离线性减弱，则流形在这一点是平直的。球面上光强减弱得比较慢，因为相对于平直空间(欧氏空间)来说球面上的光线倾向于汇聚，这是正曲率的标志;而多环面上的光强减弱非常快，这是负曲率的标志。

　　黎曼度量和曲率是另外一个话题，跟爱因斯坦的广义有关，就不赘述了。之前考虑二维世界的时候引进拓扑之外的结构--黎曼度量，是因为度量可以更好地帮助我们想象比较奇怪的拓扑结构，比如环面及其泛复叠。

　　充分地理解了可怜的爬虫以后，我们可以顾影自怜了。我们的是什么样子的?是不是一个三维球面?中某个光源发出的光线是否汇聚到对极点，那最遥远的地方?

　　或者是一个三维环面?四面八方都应该是我们自己，而我们看不到无穷多个自己只不过是因为太宽广而光线在过程中消耗殆尽?或者，根本就不是有限的，这似乎更符合大多数人的。

　　很多文献会提到，拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉，给出了第一个拓扑不变量，多面体表面的欧拉数(点数-边数+面数)。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人(虽然莱布尼兹曾经臆想过)。

　　传说中高斯当年是国土局的领导，负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到(所谓曲面的内蕴几何)，他还定义了度量曲率大小的量(高斯曲率)，并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来(高斯-博内)，所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。

　　为什么有的复变函数是多值的?比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数?人们的思维定势是，既然函数是多值的，就像一条横着的抛物线，一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊，砍掉抛物线的一半就行了。

　　如果是复变函数，其图像就是一个二维曲面，这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象，这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念，以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说，黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。

　　离得近这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础--点集拓扑的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关，即，通过分析性体现在应用数学中。所以，最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人(有好事者不以为然，一定要扯到古希腊的阿基米德，这就见仁见智了。)

　　20世纪中叶，代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展，两位名不见经传的数学工作者(艾伦伯格-麦克雷恩)突发奇想，从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上，他们重载了先贤亚里士多德的概念--范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。

　　与此呼应，世纪之交的物理学也在经历变革，量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的(被爱因斯坦附身了)爱德华.威顿，身负绝世的拓扑神功，一经施展，整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体，必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的范围。

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